题解：UVA10056 What is the Probability ?

思路：

为了计算第 ii 个玩家的获胜概率，我们需要考虑所有可能的情况，即所有玩家轮流投掷直到某人获胜。给定 nn 个玩家，每个玩家投掷成功的概率为 pp，失败的概率为 1−p1-p。

第 ii 个玩家的获胜方式可以分为以下几种情况：

  • 在第一轮中，第 ii 个玩家直接获胜，这发生在前 i−1i-1 个玩家都失败了之后，所以概率为 (1−p)i−1⋅p(1-p)^{i-1} \cdot p。
  • 第 ii 个玩家在第二轮获胜，这意味着所有 nn 个玩家在第一轮都失败了，然后前 i−1i-1 个玩家在第二轮也失败了，第 ii 个玩家在第二轮获胜，所以概率为 (1−p)n⋅(1−p)i−1⋅p=(1−p)n+i−1⋅p(1-p)^{n} \cdot (1-p)^{i-1} \cdot p = (1-p)^{n+i-1} \cdot p。
  • 同理，第i个玩家在第三轮获胜的概率为 (1−p)2n+i−1⋅p(1-p)^{2n+i-1} \cdot p。
  • 这个模式可以无限延续下去，形成一个无穷等比数列，其中首项为 (1−p)i−1⋅p(1-p)^{i-1} \cdot p，公比为 (1−p)n(1-p)^{n}。

因此，第i个玩家获胜的总概率P可以表示为这个无穷等比数列的和：

P=(1−p)i−1⋅p+(1−p)n+i−1⋅p+(1−p)2n+i−1⋅p+…P = (1-p)^{i-1} \cdot p + (1-p)^{n+i-1} \cdot p + (1-p)^{2n+i-1} \cdot p + \ldots

这是一个等比数列的和，可以用公式计算：

P=(1−p)i−1⋅p1−(1−p)nP = \frac{(1-p)^{i-1} \cdot p}{1-(1-p)^{n}}

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define itn int
#define ull unsigned long long
int T=1; 
double solve(int n,int i,double p){
	double q=1-p;// 失败概率
	double fz=pow(q,i-1)*p;// 分子
	double fm=1-pow(q,n);// 分母
	double ans=fz/fm;
	return ans;
}
int main(){
	cin>>T;
	while(T--){
		int n,i;
		double p;
		cin>>n>>p>>i;
		printf("%.4lf\n",p!=0?solve(n,i,p):0.0);// 三目运算符特判 
	}
	return 0;
}


AC 记录。